- May 2025
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Wir berechnen hierzu die Taylor-Entwicklung des Zwischenwerts f1k wie folgt (1.11)#f1k = F(tk+c1τ,uτ(tk)+τa11f1k)= F(tk,u(tk))+c1τ∂tF(tk,u(tk))+τa11DuF(tk,u(tk))f1k+O(τ2). Hierbei bezeichnet Du die Jacobimatrix bezüglich des zweiten Arguments u von F. Setzen wir auf der rechten Seite nochmal den ersten Approximationsterm für f1k ein, so folgt
Die Taylorentwicklung ist etwas schwammig durchgeführt. Bezüglich welcher Variable wird entwickelt? Entwickelt man bzgl. tau (so wie es der Fehlerterm O(tau^2) empfiehlt), dann muss kein "Rückeinsetzen der ersten Approximation" geschehen. Denn die erste Ableitung bzgl. tau wird dann bei tau = 0 ausgewertet und so ergibt sich direkt, dass f_1^k |(tau = 0) = F(t_k, u(t_k)) ist.
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Mit Hilfe der Kontraktivität von F liefert der Banach’sche Fixpunktsatz die Existenz und Eindeutigkeit eines Fixpunkts u
Allerdings ist C^1([0, T]) kein Banachraum bzgl. der Supremumsnorm. Meiner Meinung nach müsste man die Abbildung F von C([0, T]) nach C([0, T]) auffassen, denn dieser Raum ist dann vollständig.
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- Nov 2024
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wenn außerdem gilt:
In endlichen Dimensionen gilt diese Behauptung immer. Es ist eine Folgerung und nicht unbedingt eine Zusatzforderung meiner Meinung nach. (In unendlichen Dimensionen müsste U dafür zusätzlich abgeschlossen sein, Projektionssatz. In endlichen Dimensionen sind Untervektorräume aber immer abgeschlossen.)
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